Module et arguments de l'exponentielle complexe

Pr oposition

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ , on a $\left|{\text{e}}^{i\theta }\right|=1$   et $\arg ({\text{e}}^{i\theta })\equiv \theta [2\pi ]$ .

Démonstration

Soit  $\theta \in \mathbb{R}$ . Par définition, ${\text{e}}^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )=1(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$ est une forme trigonométrique de ${\text{e}}^{i\theta }$ . On en déduit que $\left|{\text{e}}^{i\theta }\right|=1$ et $\arg ({\text{e}}^{i\theta })\equiv \theta [2\pi ]$ .

Corollaire

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ , pour tout $k\in \mathbb{Z}$ , ${\text{e}}^{i(\theta +2k\pi )}={\text{e}}^{i\theta }$ .

Démonstration

Soit $\theta \in \mathbb{R}$  et soit $k\in \mathbb{Z}$ . Les points du cercle trigonométrique associés à $\theta$ et $\theta +2k\pi$ sont confondus, donc $\cos (\theta +2k\pi )=\cos (\theta )$ et $\sin (\theta +2k\pi )=\sin (\theta )$ . On en déduit que :
${\text{e}}^{i(\theta +2k\pi )}=\cos (\theta +2k\pi )+i\sin (\theta +2k\pi )=\cos (\theta )+i\sin (\theta )={\text{e}}^{i\theta }$ .

Exemples

On a les égalités suivantes :

• ${\text{e}}^{0i}={\text{e}}^{2i\pi }={\text{e}}^{4i\pi }={\text{e}}^{-2i\pi }=1$
  
• ${\text{e}}^{i\pi }={\text{e}}^{-i\pi }={\text{e}}^{999i\pi }=-1$